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Tout semblait pourtant réuni pour espérer voir le soleil scintiller à l'horizon du groupe. Mais les augures semblent avoir donné leur verdict : l'accord concernant le rachat de Sun par  Oracle a fait reculer le titre lundi à Wall Street.

Les investisseurs semblent avant tout surpris qu'en pleine crise l'éditeur de logiciels débourse la bagatelle de 7,4 milliards de dollars pour racheter le groupe informatique.

Dans cette note, j'essaie de poursuivre la démarche initiée ici à propos de la figure en "tete-épaules" en expliquant un peu comment retrouver scientifiquement les caractéristiques des figures bien connues de l'AT traditionnelle sans faire appel à d'autres arguments que du calcul simple (niveau terminale, en gros). L'idée est de "nettoyer" les raisonnements de l'AT de tous leurs cotés "recette magique" et d'essayer de délimiter leurs critères d'application; en gros, les figures chartistes se retrouvent pratiquement toutes en considérant un polynome (qui joue le role de la tendance lourde) auquel s'ajoute un (voire 2) terme trigonométrique (en sinus ou cosinus) jouant le role de la rotation cyclique. Cela nous apprend immédiatement une chose: si l'indice que vous étudiez ne présente pas de tendance polynomiale simple et que son spectre de Fourier est "plein" (les pics ne sont pas bien séparés, c'est-à-dire que l'énergie des oscillations se distribue de facon presque uniforme selon les fréquences), alors les figures chartistes ne vous donneront pratiquement rien d'utile.

Tout le monde connait le MACD comme indicateur de l'analyse technique habituelle: ce Moving Average Convergence/Divergence sert en gros à éliminer les faux signaux en examinant les points d'intersection entre 2 moyennes mobiles, l'une lente, l'autre plus dynamique. Lorsque la moyenne rapide coupe la moyenne lente à la hausse, on interprète cela comme une accélération à la hausse (en math, on dirait qu'on a de la convexité), et la situation est symétrique lorsqu'elle coupe à la baisse (là, on a dela concavité). Le problème inhérent à cette idée,c'est le choix des moyennes mobiles: pourquoi celle-là et pas une autre ?

Sur l'état de la recherche, les rapports se succèdent et se ressemblent : ni l'Etat, ni les entreprises n'investissent suffisamment dans le domaine. Le directeur de l'Ecole des Mines de Paris déplorait récemment dans Le Figaro la faiblesse de la recherche privée en France : elle représente 1,1% du PIB, contre 1,7% du PIB aux Etats-Unis.

Les choses sont-elles en train de changer ? Même si une fleur ne fait pas le printemps, Axa nous laisse espérer. L'assureur a annoncé aujourd'hui la création d'un fond de soutien à la recherche académique, doté de 100 millions d'euros pour 5 ans.

Abandonnant pour un moment le débat "hausse ou baisse" des indices boursiers, je retourne un peu vers le sujet des modélisations mathématiques en finance, sujet déjà abordé dans deux articles précédents sur ce site. Je crois que c'est un sujet assez intéressant à présenter, car au vu de ce que je vois trainer au détour de certaines pages web, on fait dire aux "maths fi" à peu près tout et n'importe quoi ...

Alors tout d'abord, un excellent polycopié mis à disposition par des enseignants de l'Université (en plus, c'est en francais!); certains auront envie d'avoir une remise à niveau en probabilités au préalable (c'est niveau DEUG).

Alors, les "maths fi", késako ? D'abord, il faut bien comprendre que ce n'est pas une recette miracle pour faire fortune à la Bourse ... Sinon on ne l'enseignerait pas aux étudiants! Il s'agit plutot d'une facon cohérente de donner un prix à des dérivés sur actifs financiers, en fonction de critères immatériels (des choses dont tout le monde a entendu parler, comme la "valeur temps" par exemple). De nombreux travaux empiriques ont été accomplis sur ce sujet, et il se trouve qu'il existe un formalisme mathématique élégant qui permet de tout rassembler au sein d'une théorie, avec des théorèmes rigoureux.

Ensuite, il existe deux approches bien distinctes, reliées par un "passage à la limite": les modèles à temps discret et ceux à temps continu. Dans le premier cas, le temps s'écoule de facon discontinue et on étudie des marches aléatoires, alors que dans le second, ces incréments temporels "tendent vers zéro" et, à la limite, on obtient des modèles basés sur des équations différentielles. Dans cette note, je me restreins aux modèles à temps discret.

Le modèle de base est celui de Cox, Ross et Rubinstein, dit aussi "modèle binomial"; le problème posé est le suivant "connaissant le payoff d'une option européenne à la maturité, comment lui donner un prix avant cette date ?". Il se trouve que la réponse est étonnante: un tel prix est donné par (la valeur actualisée de) l'espérance probabiliste de ce payoff pour toutes le trajectoires possibles du sous-jacent; ceci nécessite une hypothèse importante, l'absence d'opportunité d'arbitrage.

Ce modèle binomial sert d'introduction à une théorie plus générale ou l'évolution des marchés est basée sur une martingale, c'est-à-dire une loi de probabilité pour laquelle "la valeur en chaque instant est l'espérance de ses valeurs futures". En particulier, c'est une marche aléatoire n'ayant ni tendance haussière ou baissière, ce qui est en quelque sorte justifié par le fait qu'il se produit constamment des transactions impliquant un vendeur (donc quelqu'un qui pense que le prix va baisser), et un acheteur (qui pense le contraire). Le prix ainsi fixé est en quelque sorte une "moyenne des anticipations" des opérateurs pour le futur. Les martingales permettent, au prix d'une machinerie mathématique sensiblement plus lourde, d'étendre le résultat du pricing de dérivé obtenu pour le modèle binomial sans hypothèse restrictive sur l'évolution du marché, hormis la complétude et l'absence d'arbitrage ("no free lunch").

Les réactions positives à mon article précédent traitant de la modélisation mathématique des marchés financiers m'ont encouragé à remettre le couvert ... J'insiste toutefois sur le fait que je n'expose aucune idée personelle, et que j'essaie le plus possible de renvoyer aux publications originales des auteurs qui travaillent activement dans ce domaine.

L'article précédent présentait une nouveauté au tournant du XXIème siècle, à savoir l'introduction des "hétérogénéités" au sein des opérateurs agissant dans un marché donné; celles-ci remettent en cause la théorie des "anticipations rationnelles" qui sont elles-memes essentielles à la mise en place des "marchés efficients". Néanmoins, nous avions completement laissé de coté l'aspect vraiment mathématique des choses, une lacune que je vais essayer de combler cette fois-ci.

Tout d'abord, il exite un bon article de synthèse sur la formalisation moderne de la bonne vieille théorie de Léon Bachelier, qui mène tout droit à la célèbre formule de Black-Sholes (qu'il faut tout de meme connaitre malgré ses imperfections!). On peut aussi jeter un oeil sur les travaux de Ioannis Karatsas, notamment ses notes de cours, mais c'est nettement plus trappu! Par contre, cela permet de comprendre pourquoi les nouveaux traders de BNP Paribas sortent tous des Grandes Ecoles et ont fait de la Taupe jusqu'à plus soif!

Il existe néanmoins des papiers de "vulgarisation" (je mets des guillements parce qu'ils ne sont pas vraiment faciles à lire ...) écrits par des gens de haut niveau qui permettent de bien situer les enjeux et les moyens mis en oeuvre; par exemple, cet article présente en détail deux grands problèmes de la finance mathématique:

- La théorie de l'équilibre (d'après Walras): existence, unicité, stabilité selon les hypothèses imposées au marché. L'article cité explique clairement le "principe de continuité" qui est une arme à double tranchant.

- Le pricing des dérivés et les stratégies de couverture: on explique que la formule de Black-Sholes est indépendante du rendement moyen de l'action considérée (ce qui en explique partielement le succès car ce rendement moyen est une quantité embétante à calculer!), ce qui revient à dire qu'elle ne "voit" que la volatilité (le risque). On comprend déjà mieux qu'elle soit mise en défaut dans certaines situations ...

D'autres liens existent, bien sur! On peut donc citer celui-ci qui s'approche assez bien de l'idée des marchés hétérogènes, ou bien celui-là qui se concentre sur la théorie des produits dérivés.

Gardons tout de meme à l'esprit que toute modélisation mathématique de ces marchés se heurte à une difficulté structurelle; en effet, les mathématiques se sont révélées particulièrement efficaces en Sciences Physiques (par exemple), qui étudient des objets inanimés. En d'autres termes, l'orbite de Saturne ne dépend pas du nombre de télescopes que l'on braque sur elle depuis la Terre. Par contre, l'économie relève des Sciences Humaines, et l'étude que l'on peut faire des marchés est susceptible d'avoir une influence directe sur eux; ainsi un processus itératif peut donc démarrer à l'insu des expérimentateurs! (c'est l'idée d'une vision forcément biaisée à la base de la réflexivité de Soros)

La modélisation mathématique des marchés financiers est-elle en train de franchir une étape significative ? C'est ce que l'on pourrait penser en lisant les publications récentes émanant de certains chercheurs travaillant sur les adaptive beliefs systems (ou encore les adaptive rational equilibrium dynamics). Les systèmes étudiés couvrent les marchés actions ainsi que le FOREX (ce dernier étant parfois considéré plus efficient, bien que l'unanimité ne s'accorde pas sur ce point).

Un peu de chronologie: les premiers travaux de modélisation financière remontent à Louis Bachelier et de Jules Regnault (voir des excellents surveys là-dessus ici), on y considère que les intervenants sur le marché suivent une "marche au hasard". Ceci a d'importantes conséquences, notamment dans la démonstration rigoureuse de certains théorèmes mathématiques grace à la structure bien particulière du processus de Wiener. Après la Seconde Guerre Mondiale, l'école de Chicago, autour de Milton Friedman et Eugène Fama entend mettre en place une théorie rigoureuse des marchés financiers sur la base de la Rational Expectations Hypothesis, elle-meme très liée à la Efficient Markets Hypothesis. Cette hypothèse (il en existe des formes plus ou moins fortes) exprime d'une certaine facon que les agents ont une connaissance parfaite des informations disponibles et les intègrent instantanément  dans les cours de Bourse; les prix des titres reflètent alors la totalité des connaissances utiles (ils sont à un niveau dit "fondamental") et ne subissent que des oscillations mineures, reflétées par exemple par du bruit Gaussien.

Ceci peut paraitre un peu ingénu au vu des succès de Warren Buffett, de George Soros ou à l'opposé des ravages de la "bulle internet", qui sont des cas évidents qui illustrent un comportement soit massivement irrationnel, soit très avisé dans la mise à profit d'un certain nombre de valeurs durablement sous-cotées, soit finalement d'une théorisation des erreurs humaines, la théorie de la réflexivité. Une synthèse académique est disponible sur ces trois exemples. Toutefois, il faut se souvenir que la célèbre formule de Black-Sholes pour le pricing des produits dérivés repose sur la théorie des marchés efficients; on pourra me répondre que Myron Sholes fut impliqué dans le Krach du hedge fund LTCM ...

De nouveaux économistes ont donc décidé (à la suite par exemple de Robert Shiller), d'incorporer une composante de "psychologie des marchés" afin de remettre en accord la théorie avec la réalité; rappelons que Friedman affirma en 1953 que les opérateurs irrationnels seraient ruinés par les autres qui joueraient systématiquement contre eux, ce qui ferait "relaxer" le marché vers son niveau fondamental exponentiellement vite. Insistons sur le fait qu'un marché rationnel est homogène: meme s'il ne l'est pas initialement, les agents non rationnels sont ruinés rapidement d'après l'affirmation de Friedman.

C'est donc ce point précis que les créateurs de la Heterogeneous Market Hypothesis ont choisi de contester en introduisant un modèle incluant le marché efficient au sens de Fama comme cas particulier, mais tenant compte par ailleurs des traders "fondamentaux", "chartistes", suiveurs, contrariens, biaisés ... Une excellente référence en libre accès est ici. Bien entendu, le prix à payer pour une consistance accrue avec la réalité des marchés est la mise en oeuvre d'une équation différentielle stochastique plus compliquée; néanmoins, il semble que l'on soit encore à des niveaux de complexité mathématiquement raisonnables. Retenons déjà que ces modèles incluent naturellement des bulles spéculatives, et que l'effet de mémoire des intervenants se révèle surprenamment un effet déstabilisant de la dynamique ...

On peut toutefois regretter que ces modèles se basent exclusivement sur des équations différentielles (meme stochastiques), ce qui signifie en particulier que les titres boursiers évoluent indépendamment les uns des autres ... Ils n'incluent pas d'effet de couplage; par exemple il est rare d'avoir une valeur appartenant à un secteur économique dont la valorisation change brutalement sans qu'un effet (meme atténué) soit visible sur le secteur tout entier. Peut-etre ceci nous emmènerait trop loin en termes de complexité dans des systèmes différentiels stochastiques!

Certains suggéraient au 20eme Siècle de mettre un tigre dans le moteur, au début du 21 Siècle c'est maïs et colza qui nous sont proposés, mais l'avenir pourrait être aux micro-algues pour faire avancer nos belles limousines.

Ces organismes microscopiques qui poussent par photosynthèse dans l'eau douce ou l'eau de mer s'avèrent être des végétaux riches en lipide qui pourraient se montrer tout à fait capables de faire tourner un moteur.

Cela se précise de jour en jour : la fonte polaire - même si elle alerte aussi fort heureusement des économistes – va devenir la source d'un des enjeux majeurs du 21ème siècle, traçant en effet une nouvelle voie pour le transport du pétrole. C'est ainsi qu'USA et Canada se disputent d'ores et déjà le droit de passage.

L'ambassadeur des États-Unis au Canada, David Wilkins vient en effet de présenter une position opposée à celle de son prédécesseur à propos du passage du Nord-Ouest, voie maritime qui pourrait se créer dans l'Océan arctique à cause du réchauffement climatique, permettant d'éviter des zones à risque, de réduire les frais de transport des hydrocarbures, voire de rentabiliser l'exploitation de certains champs. D'énormes sommes en perspective qui pourraient rapidement être mises en jeu via cette nouvelle route des tankers.

Ironie du sort, alors que la Bulgarie a retenu lundi l'offre de la compagnie russe Atomstroyexport dont les sous-traitants sont Areva et Siemens, pour la construction d'une nouvelle centrale nucléaire sur le Danube, une nappe de pétrole d'une longueur de 10 km a été observée dimanche sur le fleuve au niveau du port bulgare de Lom et menace la centrale nucléaire bulgare de Kozlodoui, ont annoncé les autorités.

Une fuite accidentelle s'était d'ores et déjà produite au début du mois à Prahovo, une ville située le long des côtes du Danube, près de la frontière de la Serbie avec la Roumanie et la Bulgarie.